Теорема Вейерштрасса ФНП

Если $f$ непрерывна на компактном $K$, то её образ $f(K)$ - компакт.

Сначала докажем, что если $f$ непрерывна на $G$ и $G$ открыто, то $f^{-1}(G)$ - открыто: $$x \in f^{-1}(G): f(x) \in G$$ т.к. $G$ - открыто $\Rightarrow$ $$\exists{O(f(x))} \subset G$$ из непрерывности $f$ $\Rightarrow$ $$\exists{ O(x)}\mathpunct{:}~ f(O(x)) \subset O(f(x)) \subset G \Rightarrow O(x) \subset f^{-1}(G)$$ т.е. $\forall{x}$ входит с целой окрестностью, а это и есть открытость. Пусть $$f(K)\subset \bigcup G_{\alpha}$$ где все $G_{\alpha}$ открыты $\Rightarrow$ $K \subset \bigcup f^{-1}(G_{\alpha})$ и $f^{-1}(G_{\alpha})$ открыты $\Rightarrow$ $$K \in \bigcup_{k=1}^{n}f^{-1}(G_{\alpha}) \Rightarrow f(K) \subset\bigcup_{k=1}^{n}(G_{\alpha}) $$ $\Rightarrow f(K)$ - компактно. $\square$

Если $f$ непрерывна на компактном $K$, то $f$ ограничена.

От противного: пусть $f$ - неограниченна. Тогда: $$\forall{n \in \mathbb{N}}\mathpunct{:}~~ \exists{x^{n} \in K}\mathpunct{:}~~ |f(x^{n})| > n$$ Так как $K$ - компакт, то $\{x^{n}\}$ - ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса: $$\exists{x^{n_{k}} \to x^{0} \in K}$$ А значит по непрерывности: $$\lim_{k \to \infty} f(x^{n_{k}}) = f(x_{0}) = a$$ Значит $\{f(x^{n_{k}})\}$ сходится и, следовательно, ограничена. Противоречие $\square$

Если $f$ непрерывна на компактном $K$, то $f$ достигает своих точной верхней и точной нижней граней.

Докажем достижимость точной верхней грани. Пусть $M = \sup\limits_{x \in K} f(x)$. По определению: $$\forall{n \in \mathbb{N}}~~ \exists{x^{n} \in K}\mathpunct{:}~~ M - \dfrac{1}{n} < f(x^{n}) \leq M$$ тогда $\lim\limits_{n \to \infty} f(x^{n}) = M$ $\{x^{n}\}$ ограничена, поэтому по теореме Больцано-Вейерштрасса: $\exists{x^{n_k}} \to x^{0} \in K$ По определению непрерывности $\lim\limits_{k \to \infty} f(x^{n_k}) = f(x^{0}) = M$ $\square$